Máximo Común Divisor (MCD) y Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El Máximo Común Divisor (MCD) y el Mínimo Común Múltiplo (MCM) son dos conceptos fundamentales en la teoría de números que se utilizan para relacionar números enteros. A continuación, se explica cada uno de estos conceptos con ejemplos detallados, seguidos de ejercicios prácticos con sus respuestas para reforzar el aprendizaje.

1. Máximo Común Divisor (MCD)

El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números es el mayor número entero que divide exactamente a todos esos números. En otras palabras, es el número más grande que puede dividir sin dejar residuo a cada uno de los números dados.

Para encontrar el MCD de dos o más números, se puede usar el método de descomposición en factores primos o el algoritmo de Euclides.

1.1 Ejemplo de MCD

Ejemplo: Encontrar el MCD de 24 y 36. 1. Descomponemos ambos números en factores primos: 24 = 2² 3 36 = 2² 3² 2. Tomamos los factores primos comunes con el menor exponente: 2² y 3 3. Multiplicamos estos factores: MCD(24, 36) = 2² * 3 = 12

2. Mínimo Común Múltiplo (MCM)

El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más números es el menor número entero que es múltiplo común de todos esos números. En otras palabras, es el número más pequeño que es divisible por cada uno de los números dados.

Para encontrar el MCM de dos o más números, se puede usar el método de descomposición en factores primos o simplemente identificar los múltiplos comunes más pequeños.

2.1 Ejemplo de MCM

Ejemplo: Encontrar el MCM de 24 y 36. 1. Descomponemos ambos números en factores primos: 24 = 2² 3 36 = 2² 3² 2. Tomamos todos los factores primos con el mayor exponente: 2² y 3² 3. Multiplicamos estos factores: MCM(24, 36) = 2² 3² = 4 9 = 36

3. Ejercicios Prácticos

A continuación, se presentan 5 ejercicios para practicar el cálculo del MCD y MCM. Después de cada ejercicio se presenta la respuesta correcta.

3.1 Ejercicio 1

Encuentra el MCD y MCM de 18 y 30.Respuesta:MCD(18, 30) = 6MCM(18, 30) = 90

3.2 Ejercicio 2

Encuentra el MCD y MCM de 12 y 15.Respuesta:MCD(12, 15) = 3MCM(12, 15) = 60

3.3 Ejercicio 3

Encuentra el MCD y MCM de 48 y 180.Respuesta:MCD(48, 180) = 12MCM(48, 180) = 720

3.4 Ejercicio 4

Encuentra el MCD y MCM de 56 y 84.Respuesta:MCD(56, 84) = 28MCM(56, 84) = 168

3.5 Ejercicio 5

Encuentra el MCD y MCM de 90 y 135.Respuesta:MCD(90, 135) = 45MCM(90, 135) = 270